Columna Social

Dilemas matemáticos.

25.04.11 | 08:13. Archivado en Ciencia, en especial física

Hay matemáticas que son autenticas chorradas, y se pierde muchísimo el tiempo en interesar a la gente con acertijos superficiales y triviales como los del diario El Pais. Ya sé que son simpaticones, pero no tienen más chicha.

Hoy propongo a mis lectores un curioso dilema matemático, en el que cada uno me ha respondido lo que ha querido y se le ha ocurrido, y sin darme una respuesta convincente, o bien la respuesta era abstracta y poco didáctica:

¿Son la misma función f(x)=x/x que f(x) = 1? Es más, como a simple vista lo parecen, pregunto si: ¿Tienen f(x)=x/x y f(x) = 1 el mismo dominio de definición? ¿Qué ocurre en el controvertido punto x = 0? Pero más interesante es pensar en las consecuencias que tiene esto sobre continuidad, derivabilidad y simplificación de funciones racionales, que muchas veces hacemos con alegría y sin pensar.


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Comentarios
  • Comentario por Chencho 25.05.11 | 20:37

    El Marca es más leido que el Pais. Y la labor que hacen con los números, que todo el tiempo publican "1 X 2"...Y porque no sabemos el ranking del Hola que seguro que están a la par.

    (Cuando dice que los acertijos son simplones, se refiere a los acertijos. No creo que se refiera a los columnistas ni a los lectores, ¿o tal vez si?).

  • Comentario por La Mujer Maravilla 24.05.11 | 23:58

    Dices que lo de "El Pais" no tiene chicha y se te ocurre esta soberana idiotez. El periodico "El Pais" es el más leido y hacen una gran labor abriendo las matemáticas de forma cercana al grueso de la gente, para compensar la profunda incultura matemática que nos caracteriza. Eres un verdadero g i l i p o l l a s

  • Comentario por Chencho 29.04.11 | 17:36

    Que sea indeterminado NO SIGNIFICA QUE NO EXISTA.

    g(x) = x/x y h(x)=1 tienen el mismo dominio. Y las funciones serán iguales si g(x)=h(x) para cualquier x.
    El problema está claro que es en el punto x=0. Pero para saber si es continua podemos calcular los límites laterales, ver que coinciden y que coinciden con el valor de la función en ese punto. Resolvemos la indeterminación que nos crea x/x en x=0 y vemos que la función g(x) es continua.

    De verdad ¿El analisis matemático acaba cuando hay indeterminaciones?

  • Comentario por Rey Pastor 29.04.11 | 12:09

    El no entender que es indeterminado 0/0 es grave señor Chencho. Te lo han explicado con la teoridad de igualdad de funciones que podras encontrar en Wikipedia, no son iguales las funciones f(x)=x/x y f(1)=0 para todo valor de R porque difieren en un punto que es el x = 0, ya que en una hay presente una indeterminación puntual (indeterminación solo en el punto pero no en los alrededores) y en la otra no.

    Por mucha simplificación que hagas, no conseguirás resolver la indeterminación en x = 0. Los límites como te han explicado, son aporoximaciones al punto x = 0, no son un análisis en x = 0. La indeterminación es puntual. Consulte usted en los libros, consulte en internet, hay muchos sitios donde le van a hjablar del tema o consulte con amigos matemáticos.

  • Comentario por Chencho 28.04.11 | 21:36

    Repito el principio:
    LA FUNCIÓN ES CONTINUA EN x=0? Debe darse los puntos 1, 2 y 3.

    1.- Para que sea continua en "0" debe tener imagen de la función en ese punto, y en nuestro caso tenemos una indeterminación (0/0). Pero al RESOLOVER LA INDETERMINACIÓN F(0)=1.

    2.- Existe el límite de la función: lim (x-0)f(x)= lim (x-0) x/x =1

    3.- El límite de la función y el valor de la función en dicho punto coincide 1=1.

    Luego tenemos una función continua.

    ¿NO SABES RESOLVER INDETERMINACIONES? Pregunta a tus profesores o a tus apuntes como se hace.

  • Comentario por Chencho 28.04.11 | 09:12

    Vamos a ver:
    F(x)= 2x/2x=x/x=1
    Que las matemáticas valen para operar.

    Sabemos integrar, derivar, hacer transformadas de Laplace, y ¿no vamos a saber dividir?

    f(x)/f(x) 0/0 es una indeterminación (no división por cero). Y para resolver las indeterminaciones se operan con ellas.

    Pregúntales a los mismos matemáticos si sabemos que pasa con la función f(x) = x/x en el infinito, porque sería otra indeterminación, pero aun así sabemos muy bien que es lo que pasa (convergencia, ...).

    Nota del Blogger: Ya lo hice, y te respondo. f(x)=2x/2x si es igual que f(x)=x/x, porque son funciones iguales con idéntico dominio e imagen, y con identica relación entre todos los elementos de su dominio con los de su imagen. Pero f(x) = 1 no es igual que f(x) = x/x por los motivos que ya te he dicho. Hay un punto que fracasa, el 0/0. Y respecto a f(x) = x/x en el infinito, podemos hablar de ello con límites, los límites son una aproximación al infinito (un intento de acercamiento), no son una llegada a un punto, y más cuando no existe un punto x = infinito. Infinito es solo la representación de un punto muy grande. Preguntale tú a los matemáticos y verás, yo he tenido que corregir apuntes mios por esto.

  • Comentario por Julián Moreno Mestre [Blogger] 26.04.11 | 23:57

    Chencho: f(x)= x/sen(x) es evitable solo en x = 0. En el resto son discontinuidades esenciales de primera especie (variante asintóticas).

    Curiosamente, f(x)=x/x tiene discontinuidad evitable en x = 0 a pesar de ser simplificable. Yo también creía hasta hace poco lo que tu piensas, pero tras hacer consultas a dos matemáticos, me he convencido de justo lo contrario.

    ¿Pero sabes la putada? Que en matemáticas hacemos montones de simplificaciones en funciones pensando que es igual y resulta que no.

    Fijate algo más curioso, dos funciones son iguales si tienen identicos dominios e imagen, y además a cada punto del dominio le corresponde identica representación en la imagen para ambas funciones. f(x) = x/x no es igual que f(x) = 1 porque falla en un punto, el x = 0.

    Otro detalle curioso, f(x)/f(x) no es necesariamente igual a 1, puede existir un x0 tal que f(x0) = 0 y esto de como resultado una división por cero y tengamos una singularidad.

  • Comentario por Chencho 26.04.11 | 22:49

    Que digas de la función f(x)= x/sen(x) sería discontinua evitable en x=0, 2pi, 4pi,... vale. Pero f(x)=x/x ... que se puede operar.

  • Comentario por juan bravo madrid 26.04.11 | 11:25

    Comentario por Chencho 26.04.11 | 08:08

    Yo creo que se equivoca, no tiene imagen en ese punto, 0/0 no está definido

    Creo que se llama discontinuidad evitable, para que fuese continua tendría que tener una definición para ese punto. Creo que sí sería equivalente si se definiera para la unión entre los abiertos entre menos infinito a 0 y 0 a infinito y luego f(0)=1

  • Comentario por Chencho 26.04.11 | 08:08

    ¿qué tiene de controvertido? Un análisis matemático serio y ordenado deja todas las cosas en su sitio.

    1.- Para que sea continua en "0" debe tener imagen de la función en ese punto, y en nuestro caso tenemos una indeterminación (0/0). Pero al operar podemos ver claramente que la función F(0)=1.

    2.- Existe el límite de la función: lim (x-0)f(x)= lim (x-0) x/x =1

    3.- El límite de la función y el valor de la función en dicho punto coincide 1=1.

    Luego tenemos una función continua.


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