Desde hace unos años vengo aplicando con éxito un método matemático a ciertos problemas de bachillerato de cálculo de áreas encerradas en curvas. Son problemas en que aplicas integrales para realizar dicho cálculo. El método clásico que más se utiliza no es precisamente difícil de usar, aunque por razones que desconozco muchos alumnos que he tenido el método de toda la vida de sumar y restar áreas bajo una curva lo aprendían muy bien unos y muy mal otros. Un problema que ese método presenta son las áreas negativas que cancelan a las áreas positivas, aunque si tienes experiencia siempre logras corregir el problema cambiando el signo de las áreas negativas.
De mi afán por la termodinámica, de mi paso por la asignatura de variable compleja con el gran profesor Gabriel Álvarez Galindo, y de mi afición por el cálculo vectorial, me vino una idea que decidí ensayar en estos problemas de bachillerato. Se trata de un método que he llamado como “Método de las Circulaciones”, pues a base de interpretar que damos vueltas por las curvas que hacen de frontera con el área que deseamos calcular, obtenemos automáticamente una forma muy eficaz de sacar todas las integrales que necesitamos para calcular el área encerrada entre unas curvas o funciones.
Lo más curioso del caso es que este método que uso y explico en mis clases, suprime uno de los problemas a los que se enfrentan mis alumnos de bachillerato, y es que un área negativa se cancele con una positiva y de cómo resultado un valor que no se corresponde con el del área que queremos calcular. Esto ocurre cuando un trozo de área está por debajo del eje de abscisas. A esto último hay que estar muy atento con el método clásico. Siguiendo estrictamente la idea de circulación en sentido horario las áreas nunca son negativas ni aunque estén por debajo de dicho eje, siempre son positivas.
Según un profesor mío de carrera, Francisco Blanco Ramos, a mi idea debo llamarla método del planímetro. Se trata este de un aparato que mide áreas en planos con una idea igual que este método. Los arquitectos saben muy bien que aparato es este. Según pudo comprobar el profesor Blanco, esta idea sería una conclusión de un uso particular del teorema de Green y del teorema de Stokes. Luego interpretar de esta forma, proveniente del cálculo vectorial, un problema de cálculo en una variable es bastante válida si viene respaldada por estos dos teoremas. Su uso solo lo he visto hasta ahora en la termodinámica, ya que la idea de circulación se asocia a integrales de línea y de trayectoria, nunca lo he visto en integrales simples.
En mi opinión y por mi experiencia docente, los resultados de los alumnos son mejores con este método. Pienso que simplifica mucho mejor la determinación de las integrales que debemos usar para calcular el área y lía menos que el método tradicional.
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Micromegas lleva toda la razón, con el método que el dice tampoco hace falta preocuparse de las áreas negativas, y si a tus alumnos les dices que las sumen en valor absoluto menos. Además, en todos lo métodos se calculan los puntos de corte y el mismo número de integrales. Lo único que con tu método hay que perder el tiempo con las flechitas. No te ofendas, pero es una cosa bastante tonta enseñarselo a los alumnos.
mas que metodos particulares, se deberan enseñar a los alumnos metodos generales de como deben estudiarse las matematicas
mas que metodos particulares, se deberan enseñar a los alumnos metodos generales de como deben estudiarse las matematicas
Excelente idea para explicar a tus alumnos. Yo suelo enseñar el truco que resta la función de abajo a la de arriba. Este en cambio no está nada mal.
PD: El tal micromegas es un borrego, ni molestarse con gente así.
¿Y no sería mejor adoptar este otro "método" que, según mi profe de Química, era el más recurrido en la licenciatura? Se dibuja la gráfica de la función en un papel milimetrado, se recortan los recintos que interesan, se pesa en una balanza sensible el trozo recortado, se hace una regla de tres de acuerdo a la masa del papel usado y ¡listo!jejejejejeje... Él nos contaba que así lo hacían cuando él estudiaba Químicas hace ya la tira de años (un método de "integración numérica" muy "sui generis"....jejejejejeje...)
Rectifico, es más simple para más casos. Acostumbraba a usar más integrales definidas, y por lo que veo con tu método uso menos integrales definidas porque ya no es necesario preocuparse de las integrales áreas negativas. Me ha picado el gusanillo...
He comprobado tu método y en algunos problemas resulta ser más eficiente. No está nada mal. ¿Tienes la demostración por aí con el teorema de Green?
¿Pero esto que es?
Si no es nuevo, ni novedoso, y requiere exactamente el mismo trabajo que hacerlo como siempre...
Además, ¿Que tiene de novedad?
Pintas la función, calculas los cortes, pero ya está, yo les diria, sumad todas las areas en valor absoluto y se acabó ¿para que más?
Las verdades de Perogrullo, que a la mano cerrada llamaban puño. Y encima lo califica de novedoso el pobrecito XDDD
Probablemente todos a los que has enseñado este "método" te han dado la razón como a los tontos al ver la perogrullada que propones. Es igual de novedoso y profundo que decir que no hace falta aprender a restar, basta con aprender a sumar números con distinto signo. Seguramente así los alumnos se líen menos ya que tendrán una regla menos que aprender. (Eh, no patentes este método que me lo acabo de inventar).
Adiós panoli.
Julián, me da igual el ejemplo que pongas. Considera si quieres las funciones y=-x e y=-x^2 o las que te de la real gana. En cualquier caso, las integrales a calcular son exactamente las mismas. Considero que para un alumno de bachillerato, es más sencillo decirle que el area encerrada es el valor absoluto de la diferencia de las integrales, dado que el área debe ser siempre positiva, y fin del problema. Así no hay confusión. ¿Cuál es la supuesta eficiencia que se aporta en el ejemplo 4? Estas calculando las mismas integrales que con el método tradicional, luego la dificultad es exactamente la misma, ni más ni menos. Lo único que haces es cambiar los límites de integración de la segunda integral.
No sólo me gusta lo clásico, también me gusta lo cuántico. En cuanto a las novedades, si crees que has introducido alguna novedad es que eres todavía más tonto de lo que pareces a simple vista. Probablemente todos a los que has enseñado este "método" te han dado la razón como a l...
Micromegas: En ese caso no existe ninguno de los habituales problemas de áreas negativas. Y en el caso que expones es igualmente bueno el método de circulaciones que el tradicional a la hora de determinar las integrales. Otra cosa es el caso del área bajo una curva definida entre dos puntos, ahí el tradicional es mejor, prueba de ello son los ejemplo 9º y 10º. Pero en el caso de curvas más complicadas que definan áreas que estan entre el primer y cuarto cuadrante, el método de circulaciones resulta ser más eficiente. Mírate los ejemplos 4º, 5º y 6º.
Ya sé que te gusta lo clásico, lo de toda la vida. Pero las novedades también pueden ser buenas, y esta no está nada mal, y si la enseño es por eliminar un problema menos a mis alumnos al calcular áreas.
Ahora bien, gracias por decir que digo cosas lamentables. Ya me aclaraste bastante con que juicio me juzgas. Eso dice mucho de ti y de tu empeño y cerrazón por llevarme irracionalmente la contraria. Todos los que me han objetado algo contra el método de circulaciones jamás me han dicho tus planteamientos, sino otros interesantes que matemáticamente hay que tener en cuenta. En cambio te obcecas por repetir lo mismo que ya te he respondido, lo cual refleja que tienes un problema de comprensión lectora que te hace interpretar mal las cosas que lees o lo haces intencionadamente. Y para que te des cuenta de eso resaltaré en negrita lo que dije y tu insistencia ridícula en lo mismo. Con bobos como tú que se les repite una y otra vez la misma respuesta y siguen insistiendo en ignorarla no merece la pena dialogar.
Julián, tu método necesita resolver exactamente las mismas integrales que el método tradicional, luego en lo que a cálculo se refiere ni aporta novedad, ni aporta simplificación, ni permite determinar antes ni más eficazmente nada. Si quieres calcular el area encerrada por las funciones y=x e y=x^2 en el intervalo [0,1], tienes que calcular ambas integrales en ese intervalo, exactamente igual que en el método tradicional. El cambio de límites de integración en la segunda integral no introduce ninguna simplificación en el cálculo de la primitiva. ¿Dónde está entonces la mayor rapidez o eficacia? Porque yo no la veo.
Y sí, reconozco que no suelo leer lo que escribes, lo poco que he visto me parece de una calidad lamentable.
Bender: Estamos hablando de integrales simples y ya está, no de integrales de línea en los que si usamos expresamente esta idea. Y en el teorema de Ampere no calculamos una superficie en aquellos casos en que sacamos el campo magnético de la integral, por ser este constante en todo el recorrido, sino un recorrido. Revisate los casos del hilo rectilineo conductor y el del campo magnético en un toroide.
El único sitio donde hasta lo he visto aplicarse es en termodinámica, en lo referentete a procesos cíclicos y en diagramas PV, y los termologos no se mojan en aplicarlo cuando estas magnitudes son negativas porque no tiene sentido hablar de volumenes y presiones negativos.
Y por cierto, tú eres de los que catalogo de imbéciles, porque vienes por mi blog lanzando la piedra, insultándome y presumiendo de conocerme de ser compañero de facultad.
Micrtomegas: No sé si lees lo que escribo o no. ¿Para que he dicho varias veces que sirve mi método? Para determinar antes y más eficazmente las mismas integrales que se determinan con el método tradicional, suprimiendo además un problema que tiene el tradicional, el problema de las áreas negativas que se obtienen de calcular integrales por debajo del eje de abscisas. No he descubierto américa, simplemente he encontrado una mejora a la hora de resolver ciertos problemas.
Que yo sepa tu "método" también calcula exactamente las mismas integrales que el método tradicional. Únicamente establece el orden de los límites de integración en función del recorrido asignado al área encerrada. Si con eso crees que te has acercado al secreto del Viejo, tú mismo. A mí simplemente me parece una regla nmemotécnica.
Hombre, tú llamas idiota, imbécil o tonto a cualquiera por el mero hecho de llevarte la contraria (conmigo ya ni te esfuerzas, es directo).
Por otro lado, te olvidas que este método se usa en el teorema de Ampere en electromagnetismo (integral de línea que encierra una superficie). Lo digo porque como dices que sólo se usa en termodinámica...
Ahí se despeja la función no el área, pero esencialmente es lo mismo.
Que luego la liamos...
Micromegas: Yo no tomo por tontos a nadie, salvo que me lo demuestren. Como he dicho permite más rápidamente determinar las integrales que usaremos para calcular un área encerrada entre curvas. Realmente, aunque recurriese al mismísimo teorema de Stokes, siempre me tocaría calcular las mismas integrales. El caso no es reescribir el teorema fundamental del cálculo, se trata como dije y expresé aquí de determinar más rápidamente las integrales y evitando el problema famoso de los signos de las áreas. Con este método y circulando en sentido horario se acabó ese problema.
Otro profe: Me antepones un método clásico que precisa necesariamente saber si las áreas son positias o negativas para cambiar el signo. Con el que propongo se acabó ese problema, obtendremos de un golpe las integrales y no nos preocupamos por su signo, siempre que sigamos la circulación horaria el signo es positivo.
2-. Averiguar cuál de las dos funciones (f(x) ó g(x)) "va por arriba". ¿Cómo?, fácil, se toma punto intermedio de los límites, c€(a,b)/(ag(c)--> INT (a,b) de [f(x)-g(x)]dx.
NO HAY FALLOS.
Más sencillo aún:
1-. Hallar los ptos de corte (fácil)--> límites de la integral definida siendo el más negativo (menos positivo) el inferior y viceversa (el menos negativo... superior).[a,b].
Más sencillo aún:
1-. Hallar los ptos de corte (fácil)--> límites de la integral definida siendo el más negativo (menos positivo) el inferior y viceversa (el menos negativo... superior).[a,b].
2-. Averiguar cuál de las dos funciones (f(x) ó g(x)) "va por arriba". ¿Cómo?, fácil, se toma punto intermedio de los límites, c€(a,b)/(ag(c)--> INT (a,b) de [f(x)-g(x)]dx.
NO HAY FALLOS.
Me pregunto si nos tomas por tontos o qué. Primero de todo, ese método, si es que puede dársele tal nombre, es exactamente el método tradicional utilizando la propiedad de las integrales de que al intercambiar los extremos de integración, se debe cambiar el signo de la integral. Vamos, que como mucho, es una regla nemotécnica para no tener que pensar que sumar y que restar.
En segundo lugar, es una aplicación directa del teorema de Stokes en dos dimensiones (venga te lo dejo como ejercicio, lumbrera).
aunque el tema del hilo me es aburridisimo (soy de letras)permitidme la gran noticia.EL P.P.presenta hoy en el congreso una proposicion no de ley de que el aeropuerto de barajas pase a llamarse "aeopuerto internacional adolfo suarez"mi mas completa adhesion al hombre que nos dio la libertad.!presidente,nunca te olvidaremos y gracias,muchas gracias!!
Excelente aportación la tuya, gracias por tu generosidad, Julián.
Ya me lo he descargado para estudiarlo con detenimiento.
Saludos.
Lunes, 13 de febrero
Francisco Baena Calvo
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